备战中考必看:一个被退隐江湖的几何定理

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2020年6月4日 评论 815字阅读2分43秒

作者:即墨明德数学 杨老师

阿基米德说:给我一根杠杆和一个支点,我就能翘起地球。我们备战中考的同学可以信心满满的说:给我一个Rt三角形,我就能把它迅速解出。

备战中考必看:一个被退隐江湖的几何定理

初中阶段,把平面几何几乎发挥到了极致,解三角形是学习几何一个重要环节,我们用到过很多定理,比如“勾股定理”、“三角形全等、相似”、“三角函数”等等,今天我们讨论一个熟悉而又陌生的定理——射影定理。

我们再看上面的图:在Rt△ABC中,∠A=90°,过A点作BC边上的高AD。

图中出现了3个直角三角形,这3个三角形中任意两个是相似的,通过对应边的比值相等,可以很容易得出以下结论:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

备战中考必看:一个被退隐江湖的几何定理

这就是射影定理,最早由欧几里得提出,虽然现在的初中课本并未出现此定理,但是在做题中我们可能无形中已经用到,实用性还是非常强的,下面我们就实战演练一下“射影定理”的用法。

如下图,在矩形ABCD中,AB=1,E、F分别为AD和CD的中点,将△ABE折叠,折痕为BE,若点A恰好落在BF上,则AD=______备战中考必看:一个被退隐江湖的几何定理

在不用射影定理的前提下,我们可能是按上述步骤作答的,没有问题!有了射影定理,我们可以另辟蹊径,以另一个思路作答:①在Rt△DEF和Rt△A′EF中,通过勾股定理求出A′F=1/2;根据折叠的性质,得出BA′=1

②在Rt△BEF中,由射影定理得 EA′的平方=BA′·A′F 解出EA′=√2/2,AD=2EA′=√2。

用了射影定理做题,事半功倍。

在实际解题或考试中,很多同学不确定直接运用射影定理会不会扣步骤分,我们可以增加一道步骤,用“三角形相似”对射影定理加以说明,使解题步骤更严谨、逻辑性更强。

来源:明德数学角

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(编辑:喇叭花网)
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  • 本文来源 更新于 2020年6月4日
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