一道关于“绝对值”的变式计算题,难度堪比奥数

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2020年6月3日 评论 1065字阅读3分33秒

原标题:数学家华罗庚的一句话,点醒了一大批人

作者:即墨明德数学 杨老师

一道关于“绝对值”的变式计算题,难度堪比奥数

这道题恐怕难倒了很多初中的学生,其实这只是一道关于“绝对值”的变式计算题。

有人说它的难度堪比奥数题,乍看一眼,一头雾水,根本无从下手,在书上和练习题上从来没见过跟它长得像的题目,怎么办呢?

首先,观察这个式子,是三个绝对值的和,可是一个都求不出来,而且最要命的是:a是什么数?a等于几?a不是表示任何数吗???一连串的疑问摆在脸上,突然有种放弃的感觉……

我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事休。“这一番话,倒是好理解,就是把”数“和”形“互相结合,用来解题。本题怎么运用呢?

一道关于“绝对值”的变式计算题,难度堪比奥数
我们都知道绝对值的定义中说,绝对值是数轴上一个数与原点的距离。我们用a表示一个数,那么|a|就是a和0的距离,如果a>0,那么|a|=a=a-0,如果a<0,那么|a|=-a=0-a,如果a=0,那么|a|=0。总结一下,我们也可以说|a-0|表示在数轴上a和0的距离 。

如果不是原点,a和任意数的之间的距离,怎么表示?有了上面a和0的启发,我们很容易得出结论:数轴上两个数之间的距离等于两数差的绝对值。用公式这样表示:数轴上a、b之间的距离 =|a-b| 。

再看题目,|a-3|表示数轴上a和3的距离 ,同理|a-5|表示数轴上a和5的距离 ,|a-2|表示数轴上a和2的距离 。 开头的题目就是找一个数,与2、3、5的距离和最小,并求出和的最小值。

接下来是图形大显身手的时候了,我们画一条数轴,如下图,在2、3、5上插上小旗,

一道关于“绝对值”的变式计算题,难度堪比奥数
问题变成了,找一个数a,让a与2、3、5的距离和最小。

①只看2和5,当a在2和5之间时,距离和最小,等于3。

②再加上一个3,我们可以秒答:当a=3时,与2、3、5的距离和最小,还是3.

即当a=3时,|a-3|+|a-5|+|a-2|取最小值3.

本题到这里,已经被攻破。但问题远不止此,如果是四个数怎么办?如果是五个数怎么办?如果是无限多个数怎么办?例如下面的升级版本,求|a-1|+|a-2|+|a-3|+……+|a-n|的最小值。留给大家耐心研究吧,提示一下,n是奇数、n是偶数是否应分开思考呢?

数形结合,就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而实现优化解题的目的。

来源:明德数学角

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