趣味数学:一道不等式奥数题的巧妙解法

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2020年6月4日 评论 941字阅读3分8秒

作者:即墨明德数学 杨老师

趣味数学:一道不等式奥数题的巧妙解法

这是一道不等式的证明题,很多学过不等式的同学表示无从下手。

我们冷静一下,观察这个式子,不等式左边是连串分数的乘积,我们可以很容易看出这些分数的规律:分子分母从第一个开始1、2、3、4、5……98、99、100排列,一共多少个分数呢?中间用省略号代替,我们可以迅速算出一共50个,但本题既然是证明,所以我们不必过多考虑有多少个分数,更不能把这些分数逐个相乘算出乘积和1/10比较大小。那我们就需要从规律入手,只可智取,不能强攻!

有过做题经验的,看到一连串的分数且中间部分省略号,第一时间就会想到怎样靠分数之间的规律去消去数量过多的项,从而达到计算结果的目的。

我们继续观察式子,1/2和3/4相邻,3/4和5/6相邻……好像相邻的分数间并不能约分,所以不能实现消项。到现在问题已经有点明朗了,就是想办法把不等式左边的项通过规律消去,我们想到了分数计算的一个很重要的方法——约分

怎样才能实现约分呢?答案就三个字——加点料

我们给1/2和3/4之间加个2/3,给3/4和5/6之间加个4/5……依次类推,在最后的97/98和99/100之间加个98/99。好的,准备工作已经完成,开工做题!

趣味数学:一道不等式奥数题的巧妙解法

很容易得出A·B=1/100,

下面一步就是本题的关键:说明A<B,在这里有一个小小的陷阱,为了更严谨,必须要做说明。

上面A中的项数和B中的项数是否一样多?

趣味数学:一道不等式奥数题的巧妙解法

并不是,A中实际有50个分数,而B中只有49个(为直观的表示,将AB中各项错位排列),我们在B的结尾补上一个x1,此时AB中数量相同且一一对应,

∵A中每一项都小于B中对应的每一项,∴A<B。

∵A·B=1/100,A<B

∴A·A<1/100,即A<1/10,原题中的不等式成立。

本题还可以增加难度系数,用字母表示,推广到一般情况,让那些妄想把不等式左边50个分数的乘积算出来的人死了心,哈哈。

趣味数学:一道不等式奥数题的巧妙解法

有了上面的解题过程,相信这题一定不在话下。另外,小编还发现了当n越大,不等式的左右两边的差越小,这已经不是初中数学的范畴了,有机会大家深入探索吧!

来源:明德数学角

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(编辑:喇叭花网)
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  • 本文来源 更新于 2020年6月4日
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