内容提要 随着课程教材的改革，图形计算器作为教与学的工具，进入了中学课堂。本文通过三个典型案例分析，探讨如何更好地运用图形计算器助学、导学、促学。转变观念是用好图形计算器的关键。在运用图形计算器进行教学时应把握好适用、适时、适度的原则。最终使图形计算器成为学生自主探究的工具，用它去发现问题、提出问题、解决问题，真正促进学生的学习。

主题词 图形计算器　　典型案例　　运用原则

随着课程教材改革的深入，我国数学教学打破了传统的教学方式，更加注重信息技术与数学课程的整合，倡导积极主动、勇于探索的学习方式。在此背景下，图形计算器走进了中学课堂。如何更好地运用它来帮助学生学懂，引导学生学会，进而促进学生会学呢？本文就此问题结合教学实践作一些初步的探讨。

一、典型案例分析

（一）探索图象变换的规律

在缺乏技术支持的环境中高一学生学习函数这一内容时，往往把函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法不能有效联系在一起用于解决问题，特别由数思形的能力更显不足。如何帮助学生更好地建立这种多元联系表示呢？笔者曾做过这样一个尝试：

根据f(x)=-x²+7x-6的图象(图1)，探索y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象变换规律。

按传统教法，这一内容一般是在高三复习教学时讲授，并且是直接告诉学生变换规律，还总结出口诀让学生记住：

由f(x)图象“保上方，下翻上”得|f(x)|的图象(图2)；

由f(x)图象“保右方，擦左方，右翻左”得f(|x|)的图象(图3)。

由于结论是教师硬塞给学生的，学生往往不能很好地理解与掌握，运用时出错率高。

现在引入技术后，学生可以运用图形计算器，直接画出y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象，再与y=f(x)图象进行比较：

学生觉得很有趣，惊奇于这一“麦当劳”式的图象；同时，通过列表发现自变量与因变量间的取值关系。这时，有的学生又输入了其它一些解析式进行探索。通过观察、比较，似乎发现了一些规律，只是缺乏概括总结。此时，教师不失时机提出：如果不用图形计算器，已知f(x)=(x-1)²-2分别作出y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象，并与y=f(x)的图象进行比较，总结变换规律。

这一猜想过程必须让学生经历，并且留充分的时间让学生去想去猜，通过互相交流，引起争论后，再让学生用图形计算器验证猜想是否正确。

通过一看二猜三验证的过程，发现了图象变换的规律，并对函数的三种表示方法的优缺点作了总结，这实际上让学生经历了观察、实验、猜想、验证、得出结论等这一探索规律的全过程。这说明图形计算器只要使用得当，是可以帮助学生学习的。

(二) 探究两图象交点问题

学习完反函数概念和性质后，教师给出问题：

利用图形计算器，在直角坐标系中先作出函数的图象(图4)，然后作出函数y=b的图象，通过改变b的值，上下移动函数y=b的图象(图5)，观察它与函数的图象的交点个数，并加以论证。

拿到问题后，学生用图形计算器画出了的图象(图4)，并利用轨迹追踪功能得到：当x=1时,y_max=1; 当x=-1时,y_min=-1，由此观察到：

当b=±1时，与y=b有一个交点；

当-1与y=b有两个交点；

当b<-1或b>1时，与y=b没有交点。

学生对b=0没有考虑到，这时，教师是把结论直接告诉学生，还是让学生自己去发现问题呢？

教师接下来从方程的角度去引导学生思考问题：

与y=0.5图象有两个交点(x1 ,0.5),(x2 ,0.5),从方程的角度看，x1 ,x2应是哪个方程的两根？讨论与y=0.5的交点问题实质上是讨论哪个方程根的情况？

通过引导，学生得出如下结论：

与y=b联立消去y得，则 bx²-2x+b=0，

若x1 ,x2是方程的两根，则(x1 ,b)，(x2 , b)就是与y=b两图象交点。

若△=0，则b=±1,方程有两个相等的实数根；

若△>0，则-1

若△<0，则b<-1或b>1,方程没有实数根。

同学们发现，这个结论与刚才观察图象得出的结论是一样的，说明两函数图象交点问题可以用方程根的问题来刻画，从而让学生在动手实践、观察思考中体会了数形结合的思想。

此时，教师再提醒学生思考，以上推理有无疏漏？观察图象，检查有一个交点时，b的取值范围究竟是什么？

这时，有学生发现b=0时，两图象只有一个交点。从方程角度又如何理解呢？

对于方程bx²-2x+b=0，当b=0时，为一次方程，有一个根。因此,结论应修正为：

当b=-1,0,1时，与y=b图象有一个交点；

当-1与y=b图象有两个交点；

当b<-1或b>1时，与y=b图象没有交点。

至此，学生领悟了函数与方程间的内在联系。运用图形计算器作图观察、猜想，实现了函数的多元联系表示，从方程角度论证了猜想，并对疏漏进行了修正。

正当笔者准备总结时，一学生举手示意，原来他把刚才探究的函数变形为yx²-2x+y=0，解出，改写x，y得。他将两个解析式输入图形计算器，问：“老师，这是不是函数的反函数图象？反函数怎么会有两个？” (图6)

笔者感到既意外又惊喜：我事先并未从反函数角度去设计问题，学生提出这个问题，我感到意外；令我惊喜的是，而此问题的解决有助于学生更进一步理解函数与反函数的概念，何乐而不为呢？借助图形计算器，学生自己提出了问题，这不正是教师所期望的吗？我并未急于回答他的问题，而是鼓励他自己或与他人合作探索这个问题。