二面角

1.使学生正确理解和掌握二面角，二面角的平面角的概念，并能初步运用它解决实际问题。

2.通过学习进一步培养学生的推理能力，判断能力，逻辑表达能力，计算能力，和空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。

一．引入：

前面讨论了两个平面平行的问题，下面将要研究两个相交平面的位置关系。修筑堤坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水面成适当的角度。发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度。因而有必要研究两个平面所成的角----二面角。

二．新课：

1．二面角的概念：(与角类比)从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

2．二面角的度量：异面直线所成角、直线和平面所成角的定义都是以两相交直线所成角度量的，用哪个角来度量二面角呢？

定义：以二面角α-a-β的棱上的任意一点O为端点，在平面α ,β内分别引a 的垂线OA、OB，∠AOB就是二面角的平面角，∠AOB的大小即为二面角的大小。

由定义平面角的大小与在棱上的取点无关。

事实上，设∠A^′O^’B^’为另一平面角，则OA//O^’A^’,OB//O^’B^’，且方向相同，

∴∠AOB=∠A^’O^’B^’.

问：为何如此定义？能否在半平面内任意作射线OA，OB？如果那样的话，

∠AOB的大小不定，可以从0 °到180 °变化。

3．二面角的平面角的作法：(常用)

（1）由定义来作；

（2）由三垂线定理来及其逆定理来作；

（3）过棱上一点作棱的垂面；

直二面角：当二面角的平面角为直角时，二面角叫做直二面角，此时两平面垂直。

练习：画出直立式、平卧式各两种（锐、钝）二面角。

4．应用举例

例1山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60 °，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30 °，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？

解：作DH⊥β于D，DG⊥AB于G，连结GH，则由三垂线定理的逆定理HG⊥AB，∴∠DGH为二面角α-AB-β的平面角，

由已知∠CGH=60 °,

又∵∠DCG=30 °,CD=100米，∴DH=50米，∴DH=25米，

答：行走100米后升高25米。

练习：改上题，（1）已知∠DCB=30 °,CD=80米，DH=20米，求二面角α-AB-β.

 （2）已知：∠DCB=φ ,∠DCH= θ, 求二面角α-AB-β的平面角的正弦值。

例2过60 °的二面角α-l-β 的棱上一点O。分别在α,.β内O的同则引两条射线OP、OQ，使OP、OQ与l都成45 °角（如图），求∠POQ的余弦值。

解：在l上取一点A，过A分别在α,β内作l的垂线交OP,OQ于点P,Q,

则∠PAQ即二面角α-l-β的平面角,不妨设OA=1, 则AP = AQ = 1,

OP = OQ =,又∠PAQ=60 °,∴PQ=1,∴cos∠POQ=3/4(用定义直接作).

例3．（垂面法）已知：P是角度为θ的锐二面角α-l-β内一点（如图），若P到α,β 的距离分别为a,b,求P到棱l的距离。

解：作PA⊥α于A，PB⊥β于B，

设过PA、PB的平面交l于C，则l⊥平面APBC，

   ∴l⊥AC,l⊥BC,∠ACB中二面角α-l-β的平面角，

即∠ACB=θ,连接PC，则 l⊥PC,∴PC即为P到l的距离。

∴∠APB=180 °-θ,PA=a,PB=b,

   AB=,∵P,A,C,B四点共圆，

PC=（由正弦定理）。

例4．（间接法—射影法）设E为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁A的棱CC₁的中点，求平面A₁BE和底面ABCD所成角的余弦值。

解：连接AC，显然ΔABC是ΔA₁BE在底面上的射影。设正方体的棱长为2, 则A₁B=2，BE=，AE=3，于是cos ∠BA₁E=,

∴∠BA₁E=45 °,故,而，于是，平面A₁BE与底面

ABCD所成角的余弦值为2/3。

三．小结：本节课我们学习了二面角的概念，二面角的平面角的作法，探

求二面角的平面角是解题的关键。要掌握常用平面角的作法.

四.《立体几何》课本45页，1，2，3，4。