由一个新发现的错误谈起
岳建良
摘自：《中国基础教育21世纪》
笔者深信，对于如下一类问题：
已知ｆ（ｘ）=ａｘ２+ｂｘ,且1≤ｆ（-1）≤2,2≤ｆ（1）≤4,求ｆ（-2）的取值范围；
已知π＜α+β＜（4／3）π，-π＜α-β＜-π／3，求2α-β的取值范围．
大多数教师都能知道学生易犯的错误，并能从数和形两方面对比着进行错误的剖析，还能给出二三种正确解法．原因有二：早在笔者上大学时（十几年前了）就已见过一些书及文章谈及此问题；近来一些杂志上还不断有文章论及此类问题（如文〔1〕）．这既能反映出此类问题的确容易出错（几乎每届学生都有犯的），又能说明纠错需击中要害并常抓不懈!
知错纠错之后，教师就不犯类似错误了吗?笔者以为未必，因为时过境迁，易地换处境后，由于疏忽或其他原因（如迷信权威等），很可能对其错误没有觉察．请思考下面的题目及证明是否有问题（见文〔2〕Ｐ.34～35）:
设ｆ（ｘ）=ａｘ２+ｂｘ+ｃ,当｜ｘ｜≤1时，总有｜ｆ（ｘ）｜≤1．求证：｜ｆ（2）｜≤8．
证明：∵当｜ｘ｜≤1时，总有｜ｆ（ｘ）｜≤1，
∴｜ｆ（0）｜≤1，即｜ｃ｜≤1．
又∵2ｂ=ｆ（1）-ｆ（-1），
∴｜2ｂ｜=｜ｆ（1）-ｆ（-1）｜≤｜ｆ（1）｜+｜ｆ（-1）｜≤2即｜ｂ｜≤1.
∵2ａ=ｆ（1）+ｆ（-1）-2ｃ,
∴｜2ａ｜=｜ｆ（1）+ｆ（-1）-2ｃ｜
≤｜ｆ（1）｜+｜ｆ（-1）｜+2｜ｃ｜≤4,即
｜ａ｜≤2．
从而｜ｆ（2）｜=｜4ａ+2ｂ+ｃ｜
=｜ｆ（1）+3ａ+ｂ｜
≤｜ｆ（1）｜+3｜ａ｜+｜ｂ｜
≤1+6+1=8．
初看题目及证明，您可能认为无懈可击，甚而还要为其巧妙的想法而叫好呢（如果不是偶然发现，笔者也会和您一样）!庆幸的是，笔者开始并未翻阅答案，而是借助于前面所述问题的纠错经验和正确解法，给出如下的证明：
∵当｜ｘ｜≤1时，总有｜ｆ（ｘ）｜≤1，
∴｜ｆ（0）｜≤1，｜ｆ（1）｜≤1，｜ｆ（-1）｜≤1.
易知 ｆ（1）=ａ+ｂ+ｃ,ｆ（-1）=ａ-ｂ+ｃ,ｆ（0）=ｃ,
又ｆ（2）=4ａ+2ｂ+ｃ
=3（ａ+ｂ+ｃ）+（ａ-ｂ+ｃ）-3ｃ
=3ｆ（1）+ｆ（-1）-3ｆ（0）,
∴｜ｆ（2）｜=｜3ｆ（1）+ｆ（-1）-3ｆ（0）｜
≤｜3ｆ（1）｜+｜ｆ（-1）｜+｜3ｆ（0）｜
≤3+1+3=7.
这不能说是意外!对比两种证明，容易看出，笔者所给的证明结论更强，而且当且仅当
时，等号成立（例如取ｆ（ｘ）=2ｘ2-1或ｆ（ｘ）=-2ｘ2+1均能满足题设条件，且｜ｆ（2）｜=7）.
那么原证明中的等号｜ｆ（2）｜=8能成立吗?经过笔者的检验（读者也不妨试试），发现事实确实是找不到一个满足题设条件的ｆ（ｘ），让｜ｆ（2）｜=8．这样看来，题目所求证的结论有误．
一个有误（不可靠）的结论竟能给出证明，证明的正确与否也就可想而知了．证明中的问题出在哪里呢?还是留给聪明的读者去思考吧．
仅从发现错误（指出错误）方面考虑，任务已经完成．但若到此结束，未免有点缺憾，其弦外之音可能价值更大，限于水平，试指出以下几点（更多的留待读者去补充）：
1．应立即修正流行资料上的错误
一本流行资料，直接影响着成百上千的教师的认识，进而将是成千上万的中学生，如果不立即制止这种错误的流传，危害可想而知，以讹传讹的闹剧又会不断开演，文［3］（第86页的“双基”强化训练题10及第223页的答案）不就是一个很好的例证吗?知错能改，善莫大焉!
2．“绝知此事要躬行”
虽然谁也不希望自己在编（解）题中出错，但要想不断地推陈出新或进行创造，就难免会犯这样或那样的错误（或知识或逻辑或心理），更何况错误与正确本来就是相伴相随的，认识的错误或正确，对我们教学来说，都是不可多得的资料，都同样有价值．对错误的全方位****，能更加深我们对正确的结论或解决问题的过程的理解．
我们教师随时都面临着这样的挑战----对信息（来自书上、资料、学生等各方面的）辨别真伪．人们常说，先入为主．如果我们有了依赖心理，遇到问题就去翻答案并对答案不假思索地接受，很容易导致人云亦云，弄不好就会让错误混淆了视听（当然，我们一点也不否认答案对我们的启迪作用）．古人云“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”．有了自身的体验、思考与理解，我们才能触变不惊，左右逢源．在倡导培养创新精神和实践能力的今天，不迷信、不盲从才是我们教师（包括学生）应持的基本态度（在这方面，罗增儒教授当是我们的榜样，可见其发表在本刊的解题分析系列文章）．但愿我们的教师能下题海，觅真知，做一个非常优秀的水手!
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