探究性策略在数学教学中的应用        

摘自：《中国教学资源网》

函数的奇偶性是函数的一个重要性质 ,它有助于培养学生的理解能力，推理论证能力和探索精神，在高中数学中占有重要的位置。本案例研究的主要问题有：

1、奇函数，偶函数，的图像有何特点和重要性质？

2、 及 型函数的对称中心和对称轴.

研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要 ,如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像.函数的对称中心和对称轴实际上是函数奇偶性的拓展。（实际上是进一步拓宽学生的数形结合思想）

片段一 :（奇偶函数的图象特点和性质探究）

师：奇函数或偶函数的图象有何特点？我们一起来看一个有趣的图形并观察有何特点？

生：图（ 1）两边成对称图形，在图（2）中关于y轴对称。

师：这就是数学中的对称美，请同学们再作出 y=-3x和y=x 2 +2的图象并观察有何特点？

生：奇函数 y=-3x的图象是一条过原点的直线，并且关于原点成中心对称图形；偶函数y=x 2 +2的图象是一条抛物线，顶点是（0，2）、开口方向向上，且关于y轴对称。

师：回答得太棒了！大家再作出 y=4x和y=x 2 的图象，观察是否有类似的规律？

生： y=4x的图象也是关于原点成中心对称图形；y=x 2 与 y=x 2 +2 的图象一样也关于 y轴对称。

师：到此我们猜想，奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，反之亦然；偶函数的图象是以 y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。

师：请同学们思考自学课本 P51倒数第二段。

生：噢，原来如此。

师：根据奇、偶函数图象的特点请同学们思考如何作出函数 的图象？

生 3：该函数的定义域为（0，+∞）∪（-∞，0），又是偶函数，只需作出 在（0，+∞）上的图象，但我不知该怎样做？

生 4：用描点法。（主动到黑板上做图，并根据对称性做出另一部分。）

生（全体）：真棒！

片段二 :（对称中心和对称轴的探究）

师：上两节课我们学习了正余弦函数的定义域、值域、单调性、周期性和奇偶性，请大家结合函数图象讨论是否还有其他性质。我们先从正弦函数开始。

生 1：正弦函数图象关于原点对称，因为它是奇函数。

生 2：正弦函数关于直线 对称

生 3：因正弦函数是周期函数，我发现 还关于直线

…对称，关于点 对称，他们之间都相差 的整数倍

生 4：不对，我觉得应该是关于直线 …对称，关于点 对称，他们之间都相差 的整数倍。

师：太棒了。

（余弦函数的对称中心和对称轴的探究略）

师：好，我们下面进一步对他们进行深入研究，首先大家试试能否说出 的对称中心和对称轴。

生：结合函数图象容易看到它的对称中心是 ，对称轴是

师： 呢？ 呢？

生：用五点点法画出函数图象观察后可得，两者对称中心和对称轴相同，它的对称中心是 对称轴是

师： good!大家发现找对称轴和对称中心有什么规律没有？

生甲：（急不可待）我发现了，对称中心实际上就是图象与 x轴交点的坐标，而对称轴是函数取得最大或最小值时所对应的变量x的取值。

生乙： 可用诱导公式变为 ，利用余弦函数的图象不是更简单吗？

师：两个同学说得都非常棒。生甲说出了对于求 及 型函数对称中心和对称轴的通法。生乙实际上发现了另外一个问题，即 和 什么时候是奇函数什么时候是偶函数。

生乙：根据诱导公式，很容易看到当 时 是偶函数，而 是奇函数，当 时， 是奇函数，而 是偶函数。

师：太棒了。（并作适当解释）

这节课本着“课程标准为依据，教师为主导，学生为主体”的原则进行设计与教学，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，在教师的有效指导下解决问题。应当说在知识的习得、能力的培养二个方面收获都比较大，基本上达到了预期的教学目的。比如，用麦当劳图案作为轴对称的实际例子，调动了学生的学习积极性；通过阅读理解、交流学习的形式导出偶函数的性质，使学生体验了知识习得的过程。

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