摘自：《养正中学》
教学案例：姚新琪
授课班级：嘉辉高三1
授课人：姚新琪
时间：2006年12月8日
一、教学目标：
知识目标：准确确定二元一次不等式表示的平面区域；了解线性规划意义，并会简单的运用；能用线性规划的知识解决一些实际问题。
能力目标：提高学生的作图能力、实际应用能力，培养学生运动变化的数学思维。
二、教学重点：能准确确定二元一次不等式表示的平面区域；会求线性规划的最优解；
能用线性规划的知识解决一些实际问题。
教学难点：如何将实际问题转化为线性规划的问题，并给出解答。
三、教学工具：多媒体
四、教学过程：
（一）、线性区域问题
问题引入：在平面直坐标系中，满足方程x+y-1=0的点（x，y）的集合表示什么图形？不等式x+y-1＞0呢？x+y-1＜0呢？
师：前者表示直线，不等式分别表示直线的两侧的区域，如何判断不等式表示的区域是在直线的上（下）方？方法如下：
基础知识回顾：判断二元一次不等式Ax+By+C>0（<0）表示区域的方法：
方法1、代点法：直线Ax+By+C=0（c不为0）的某侧任取一点（一般取原点），把它的坐标代入不等式，若符合不等式，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不符合，则在另一侧。（因为对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点（x，y），实数Ax+By+C的正负相同。）
方法2、B判别法：观察不等式中y的系数B和不等号，若Ｂ＞０，则不等式Ax+By+C＞0表示 的区域在直线Ax+By+C＝0的上方；不等式Ax+By+C＜0表示的区域在直线Ax+By+C＝0的下方；若Ｂ＜０，则不等式Ax+By+C＞0表示的区域在直线Ax+By+C＝0的下方；不等式Ax+By+C＜0表示的区域在直线Ax+By+C＝0的上方。（可以不用把不等式化成Ax+By+C＞0（〈0）的形式。）
补充：二元一次不等式Ax+By+C>0(<0)表示平面区域时，边界（直线）应画成虚线;二元一次不等式Ax+By+C≥0（≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（包括边界）。
例1、在坐标平面上，（1）请同学在坐标纸上画出不等式组  所表示的平面区域。（用阴影表示）；（2）并求该平面区域的面积为。 解析：（1）如图所示阴影部分包括边界。（图见幻灯片上）
（2）  （h为A到直线BC的距离）。易得  ，  ，解方程组  得  ，  ，  。 （二）线性区域中的最值问题
基础知识回顾：线性规划的有关概念：
（1）线性约束条件：由条件列出的关于x、y的一次不等式组。
（2）目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式。若是关于x、y的一次解析式，则称为线性目标函数。
（3）线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
（4）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）
（5）可行域：由所有可行解组成的集合。
（6）最优解：在可行域中使目标函数取得最大值或最小值的解。
（1）线性约束条件：（2）线性目标函数（3）线性规划问题（4）可行解（5）可行域（6）最优解
例2、已知  ， 求  的最大和最小值。变式1、求  的最大和最小值。 求  的取值范围。变式2、求  的取值范围。 （3）求  的最大和最小值。变式3、求  的最小值。 解析：
板书：作出可行域（如图阴影区域包括边界）。
（1）  ，作一组平行线l：  ， 解  得最优解B（3，1），  。解  得最优解C（7，9），  。 小结：求形如z=Ax+By+C函数最值问题的一般步骤：
（1）作：作出可行域
（2）移：作一组平行直线L，平移L，找最优解
(3）解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值。
注意：线性目标函数的最值，如果可行域为封闭图形，一般在顶点处取得。所以可以把所有顶点代入目标函数z，求值，比较得到最值。
变式1、（提问同学。）
注意：对线性目标函数z=Ax+By+c中的B的符号要注意：当B>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴上截距最小时,z值最小；当B<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大。
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