摘自：《福建高中新课程网》
背景
在《基本初等函数（Ⅰ）》一章中，有两个符号是学生比较不熟悉的：  和  ，教材中是通过实例引入并给出定义： 如果  ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根。 如果  ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作  。 当我们按照书上的安排，通过大量的实例来引出并说明根式与对数的含义时，仍有不少学生不能很好地理解，在教师的特别强调下，勉强记住了这两个“奇怪”的东西，时间久了，若没有经过“脑白金”式的反复记忆，遗忘是理所当然的事了。至于理解能力较差、基础不好的学生，则只能是象在看天书了。
“老师，为什么要学习根式呢？”是啊，为什么要引入根式，又为什么要引入对数？当学生这样问我时，我便经常问自己：有什么办法可以顺利地引入根式呢？
解决策略
当我们重新回忆“  ”的出现时，发现它是数系扩充的必然结果： 古希腊毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的学生在研究 1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为 x ，既然  ，推导的结果即  。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为 x ，根据勾股定理  ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？后来人们把它写成了  ，当然无理数的发现引发了第一次数学危机，人们发现并承认它的存在曾经付出巨大的曲折与艰辛。 那么，“  ”是什么呢？相信每位高中学生都非常清楚：  是一个数，它的平方等于2！由此，“  ”也是一个数，它的 n 次方等于 a ！ 更进一步，  是什么呢？由  知  ，故  也是一个数（对数）， a 的  次方等于 N 。 如此，则  及  便不难理解了。 于是我们认为，在讲授根式时，应向学生介绍数系的扩充与发展，让学生明白数系扩充的必要性以及引入数学符号的意义，这样做起码有以下几点好处：
（ 1）介绍数学发展的历程，让学生对实数系有一个清晰的认识，而且数学史的精彩内容可以激发学生学习的兴趣。
（ 2）数学符号是学习数学的一大难点，若不能引起足够的重视，则学生便常常会把符号混用，导致知识的缺陷。重视数学符号的功能，更应讲清它的来龙去脉，帮助学生在有意义的学习中轻松记忆相关内容。
（ 3）有利于学生的后继学习。  是什么？ i 又是什么？许多符号在后面的学习中都会陆续出现，当学生充分理解根式的意义时，接下来的学习便不会再有困难了。 当然我们更要追问：为什么要引入正分数指数幂？负分数指数幂又是如何定义的？通过对以上问题的认真、深刻思考，我们设计了如下教学课例：
教学设计：《根式与分数指数幂》
一、教学任务分析
〖 知识与技能 〗
（ 1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；
（ 2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。
〖 过程与方法 〗
通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
〖 情感、态度与价值观 〗
通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
二、教学重难点
根式、分数指数幂的概念及其性质。
三、教材分析
教科书先给出了两个实际例子：国内生产总值（ GDP）的增长问题，生物体内碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中已学的整数指数幂，也让学生感受其中的函数模型，并且还有思想教育价值；后一个问题，让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。
学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根与立方根的概念扩充到 n 次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理指数幂逼近无理系数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数。
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