摘自：《教学资源联盟》
实录：
一、不等式证明的常用方法和基本不等式
师：前面我们复习了不等式的性质，现在开始复习不等式的证明。下面我们先来看一个问题：
[例1]求证：(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )≥(ac+bd) 2
如何证明这个不等式呢？我们回忆一下，不等式证明有哪些常用的方法？
生：比较法、分析法和综合法。
师：什么是比较法？这个不等式能不能用比较法来证明？
生：要证明 a＞b，只要证明a-b＞0，这就是不等式证明的比较法，这个不等式能用比较法证明。
证法一
∵ (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )-(ac+bd) 2
=a 2 c 2 +a 2 d 2 +b 2 c 2 +b 2 d 2 -a 2 c 2 -2abcd-b 2 d 2
=(bc-ad) 2 ≥0
∴ (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )≥(ac+bd) 2
师：用比较法证明不等式的基本步骤有哪些？
生：有三步： (1)作差(2)变形(3)确定符号
师：什么是分析法？这个不等式能不能用分析法来证明？
生：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题；如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法就是不等式证明的分析法。这个不等式能用分析法来证明。
证法二
要证明 (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )≥(ac+bd) 2
只要证明 a 2 c 2 +b 2 c 2 +a 2 d 2 +b 2 d 2 ≥a 2 c 2 +2abcd+b 2 d 2
也就是证明 b 2 c 2 +a 2 d 2 ≥2abcd
即 (bc-ad) 2 ≥0
∵ (bc-ad) 2 ≥0成立
∴ (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )≥(ac+bd) 2 成立
(教师指出应用分析法证明时要注意书写格式)
师：什么是综合法？这个不等式能不能用综合法来证明？
生：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式，这种方法是不等式证明的综合法，这个不等式能用综合法来证明。
证法三
∵ b 2 c 2 +a 2 d 2 ≥2abcd
∴ a 2 c 2 +b 2 d 2 +b 2 c 2 +a 2 d 2 ≥a 2 c 2 +2abcd+b 2 d 2
即 (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )≥(ac+bd) 2
师：应用综合法证明的关键是找出作为基础的已经证明过的不等式。这些不等式大都是基本不等式，主要有：
a 2 +b 2 ≥2ab(a、b∈R)
 (a、b∈R + ) 这里要注意：
(1)不等式成立的条件，字母的允许值范围；
(2)当且仅当a=b时，等号成立。
[这里改变了高三复习课先整理知识，然后讲解例题的传统模式，而是先提出问题让学生思考，创设问题情境，激起学生复习的欲望和要求，唤起学生对旧知识的回忆，引起学生的思维。这样可以提高学生复习的积极性。在此基础上，通过教师的启发，让学生自己逐步回忆过去所学的知识，应用它们来分析问题和解决问题，最好引导学生自己归纳、整理旧知识，形成比较系统和完整的知识结构。]
二、不等式证明方法的应用
[例2]已知a、b、c是不全相等的正数。
求证：  (先让学生议论，然后由学生起来回答，教师板书。)
证明：∵  a、b、c是不全相等的正数
∴①②③中等号不同时成立
∴  即  (如果学生按上述步骤进行证明，教师应提出：这样证明有没有问题？让学生通过思考后发现：在证明一开始必须先指出a、b、c∈R + ，否则不能确定①、②、③是否成立。)
师：在证明不等式时，应注意以下几点：
(1)不等式的逆向运用，要证明不等式  可以先证明它的逆向不等式  。 (2)已知条件在不等式证明中的应用。由于a、b、c是三个不全相等的正数，从而得出①、②、③中三个等号不同时成立，于是才能证得原不等式成立。
(3)同向不等式相加是用综合法证明不等式的常用手段。
[例3]已知a、b、c∈R + ，求证：  (师生共同进行分析)
要证明  只要证明  也就是证明  如何证明这个不等式呢？ (让学生议论后回答)
生：∵ a、b∈R +
∴  ∴  师：这样证明有没有问题？生： (回答略)
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